题目

题型：解答题难度：一般来源：0101 期中题

已知定义域为R的函数是奇函数，
（1）求实数a的值；
（2）判断该函数在定义域R上的单调性（不要求写证明过程）；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围；
（4）设关于x的函数F(x)=f（4^x-b）+f（-2^x+1）有零点，求实数b的取值范围。

答案

解：（1）由题设，需，
∴a=1，
∴，
经验证，f（x）为奇函数，
∴a=1；
（2）该函数在定义域R上是减函数；
（3）由，
∵f（x）是奇函数，
∴，
由（2）知f（x）是减函数，
∴原问题转化为对任意t∈R恒成立，
∴即为所求；
（4）原函数零点的问题等价于方程，
由（3），有解，
，
∴当b∈[-1，+∞)时函数存在零点。