题目

题型：解答题难度：一般来源：期末题

已知函数f（x）满足f（log_ax）=（x﹣x^﹣1），其中a＞0，a≠1
（1）对于函数f（x），当x∈（﹣1，1）时，f（1﹣m）+f（1﹣m²）＜0，求实数m的集合；
（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x﹣4）的值恒为负数，求a的取值范围

答案

解：（1）根据题意，令log_ax=t，则x=a^t，
所以，即
当a＞1时，因为a^x﹣a^﹣x为增函数，且＞0，所以f（x）在（﹣1，1）上为增函数；
当0＜a＜1时，因为a^x﹣a^﹣x为减函数，且＜0，所以f（x）在（﹣1，1）上为增函数；
综上所述，f（x）在（﹣1，1）上为增函数．
又因为f（﹣x）==﹣f（x），故f（x）为奇函数．
所以f（1﹣m）+f（1﹣m²）＜0f（1﹣m）＜﹣f（1﹣m²）
f（1﹣m）＜f（m²﹣1）
由f（x）在（﹣1，1）上为增函数，可得
解得1＜m＜，即m的值的集合为{m|1＜m＜}
（2）由（1）可知，f（x）为增函数，则要使x∈（﹣∞，2），f（x）﹣4的值恒为负数，
只要f（2）﹣4≤0即可，即f（2）==＜4，
又a＞0解得
又a≠1，可得符合条件的a的取值范围是（2﹣，1）∪（1，2+）．