题目

题型：解答题难度：一般来源：高考真题

某企业接到生产3000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件），已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）。
（1）设生产A部件的人数为ｘ，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间；
（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案。

答案

解：（1）设完成A ，B ，C 三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为
由题设有  
其中均为1到200之间的正整数。
（2）完成订单任务的时间为
其定义域为
易知，为减函数，为增函数
注意到
于是①当时，
此时，
由函数的单调性知，当时取得最小值，
解得
由于
故当时完成订单任务的时间最短，且最短时间为。
②当时， 由于为正整数，故，
此时
易知为增函数，
则
的单调性知，当时取得最小值，解得
由于
此时完成订单任务的最短时间大于。
③当时， 由于为正整数，故，
此时
由函数的单调性知，当时取得最小值，解得
类似①的讨论，此时完成订单任务的最短时间为，大于
综上所述，当时完成订单任务的时间最短，
此时生产A，B，C三种部件的人数分别为44，88，68。