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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
若函数f(x)在定义域D内某区间I上是增函数,而F(x)=
f(x)
x
在I上是减函数,则称y=f(x)在I上是“弱增函数”
(1)请分别判断f(x)=x+4,g(x)=x2+4x在x∈(1,2)是否是“弱增函数”,并简要说明理由.
(2)证明函数h(x)=x2+a2x+4(a是常数且a∈R)在(0,1]上是“弱增函数”.
答案
(1)由于f(x)=x+4在(1,2)上是增函数,且F(x)=
f(x)
x
=1+
4
x
在(1,2)上是减函数,
所以f(x)=x+4在(1,2)上是“弱增函数”,g(x)=x2+4x在(1,2)上是增函数,但
g(x)
x
=x+4
在(1,2)上不是减函数,
所以g(x)=x2+4x+2在(1,2)上不是“弱增函数”.
(2)因为h(x)=x2+a2•x+4的对称轴为x=-
a2
2
≤0,开口向上,所以h(x)在(0,1]上是增函数.
下面证明函数F(x)=
h(x)
x
=x+
4
x
+a2
在(0,1]上是减函数.
设0<x1<x2≤1,
F(x1)-F(x2)=(x1+
4
x1
+a2)-(x2+
4
x2
+a2)=
(x1-x2)(x1x2-4)
x1x2

∵0<x1<x2≤1,∴x1-x2<0,0<x1x2<1,
F(x1)-F(x2)=
(x1-x2)(x1x2-b)
x1x2
>0
,即F(x1)>F(x2).
所以F(x)在(0,1]上单调递减,
所以h(x)在(0,1]上是“弱增函数”;
核心考点
试题【若函数f(x)在定义域D内某区间I上是增函数,而F(x)=f(x)x在I上是减函数,则称y=f(x)在I上是“弱增函数”(1)请分别判断f(x)=x+4,g(x】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,g(x)=-f(|x|),若g(lgx)>g(1),则x的取值范围是(  )
A.(0,10)B.(10,+∞)
C.(
1
10
,10)
D.(0,
1
10
)∪(10,+∞)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
函数f(x8)=log2x,则f(16)的值是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
若函数f(x)=





x2+1,(x≤1)
lgx,(x>1)
,则f(f(10))=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
若函数f(x)=





x
1
2
,x≥4
log2x,0<x<4
,则f(f(4))=(  )
A.0B.1C.


2
D.2
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=(m-1)x+
1
x
,且f(1)=2;
①求出函数f(x)的解析表达式,并判断奇偶性;
②证明函数f(x)在[1,+∞)上是增函数.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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