题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数y=a^2x+2a^x-1（a＞0，且a≠1）在区间[-1，1]上的最大值是7，求a的值．

答案

令t=a^x，则t＞0
则y=a^2x+2a^x-1=t²+2t-1=（t+1）²-2（t＞0）
当0＜a＜1时，
∵x∈[-1，1]，
∴a≤t≤

1

a

，此时f（t）在[a，

1

a

]上单调递增，
则y_max=f（

1

a

）=

1

a2

+

2

a

-1=7，
解得：

1

a

=2，或

1

a

=-4（舍）
∴a=

1

2

当a＞1时，
∵x∈[-1，1]，
∴

1

a

≤t≤a，此时f（t）在[

1

a

，a]上单调递增，
则y_max=f（a）=a²+2a-1=7，
解得：a=2，或a=-4（舍）
∴a=2
综上：a=

1

2

或a=2