题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(Ⅰ)设a=1,b=2,若h (x)为偶函数,求h(
2 |
(Ⅱ)设b>0,若h (x)同时也是g(x)、l(x)在R上生成的一个函数,求a+b的最小值;
(Ⅲ)试判断h(x)能否为任意的一个二次函数,并证明你的结论.
答案
因为h(x)为一个二次函数,且为偶函数,
所以二次函数h(x)的对称轴为y轴,即x=-
m+n |
2m |
所以n=-m,则h(x)=mx2-2m,
则h(
2 |
(Ⅱ)由题意,设h(x)=mf(x)+ng(x)=mx2+(am+n)x+bn(m,n∈R,且m≠0)
由h(x)同时也是g(x)、l(x)在R上生成的一个函数,
知存在m0,n0使得h(x)=m0g(x)+n0l(x)=2n0x2+(m0+3n0)x+(bm0-n0),
所以函数h(x)=mx2+(am+n)x+bn=2n0x2+(m0+3n0)x+(bm0-n0),
则
|
消去m0,n0,得am=(
1 |
2b |
3 |
2 |
因为m≠0,所以a=
1 |
2b |
3 |
2 |
因为b>0,
所以a+b=
1 |
2b |
3 |
2 |
3 |
2 |
b•
|
3 |
2 |
2 |
| ||
2 |
故a+b的最小值为
3 |
2 |
2 |
(Ⅲ)结论:函数h(x)不能为任意的一个二次函数.
以下给出证明过程.
证明:假设函数h(x)能为任意的一个二次函数,
那么存在m1,n1使得h(x)为二次函数y=x2,记为h1(x)=x2,
即h1(x)=m1f(x)+n1g(x)=x2;①
同理,存在m2,n2使得h(x)为二次函数y=x2+1,记为h2(x)=x2+1,
即h2(x)=m2f(x)+n2g(x)=x2+1.②
由②-①,得函数h2(x)-h1(x)=(m2-m1)f(x)+(n2-n1)g(x)=1,
令m3=m2-m1,n3=n2-n1,化简得m3(x2+ax)+n3(x+b)=1对x∈R恒成立,
即m3x2+(m3a+n3)x+n3b=1对x∈R恒成立,
所以
|
|
显然,n3b=0×b=0与n3b=1矛盾,
所以,假设是错误的,
故函数h(x)不能为任意的一个二次函数.(14分)
注:第(Ⅲ)问还可以举其他反例.如h1(x)=2x2,h2(x)=2x2+1,
核心考点
试题【已知f (x)、g(x)都是定义在R上的函数,如果存在实数m、n使得h (x)=m f(x)+ng(x),那么称h (x)为f (x)、g(x)在R上生成的一个】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.(
| B.(
| C.[1,
| D.(-∞,
|
1 |
x |
A.0个 | B.1个 | C.2个 | D.3个 |
(1)求证:函数g(x)=f(x)-x2+1是奇函数;
(2)若f(2)=8,求f(-2)的值.
9x-5 |
x+3 |
b |
x |
5 |
2 |
17 |
4 |
(Ⅰ)求a、b、c的值;
(Ⅱ)试判断函数f(x)在区间(0,
1 |
2 |
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