题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

（理科）已知二次函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的定义域为[-1，1]，且|f（x）|的最大值为M．
（Ⅰ）试证明|1+b|≤M；
（Ⅱ）试证明M≥

1

2

；
（Ⅲ）当M=

1

2

时，试求出f（x）的解析式．

答案

（Ⅰ）证明：∵M≥|f（-1）|=|1-a+b|，M≥|f（1）|=|1+a+b|
∴2M≥|1-a+b|+|1+a+b|≥|（1-a+b）+（1+a+b）|=2|1+b|
∴M≥|1+b|
（Ⅱ）证明：依题意，M≥|f（-1）|，M≥|f（0）|，M≥|f（1）|
又|f（-1）|=|1-a+b|，|f（1）|=|1+a+b|，|f（0）|=|b|
∴4M≥|f（-1）|+|f（0）|+|f（1）|=|1-a+b|+2|b|+|1+a+b|≥|（1-a+b）-2b+（1+a+b）|=2
∴M≥

1

2

（Ⅲ）依M=

1

2

时，|f(0)|=|b|≤

1

2

，-

1

2

≤b≤

1

2

①同理-

1

2

≤1+a+b≤

1

2

②-

1

2

≤1-a+b≤

1

2

③
②+③得：-

3

2

≤b≤-

1

2

④由①、④得：b=-

1

2

．
当b=-

1

2

时，分别代入②、③得：

-1≤a≤0 0≤a≤1

⇒a=0，因此f(x)=x2-

1

2

．