题目

题型：不详难度：来源：

在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x²－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．

答案

（1）(x－3)²＋(y－1)²＝9.（2）a＝－1.

解析

(1)曲线y＝x²－6x＋1与坐标轴的交点为(0,1)，(3±2，0)．故可设圆心坐标为(3，t)，
则有3²＋(t－1)²＝²＋t².
解得t＝1，则圆的半径为＝3.
所以圆的方程为(x－3)²＋(y－1)²＝9.
(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，其坐标满足方程组，
消去y得到方程2x²＋(2a－8)x＋a²－2a＋1＝0，
由已知可得判别式Δ＝56－16a－4a²＞0，
由根与系数的关系可得x₁＋x₂＝4－a，x₁x₂＝，①
由OA⊥OB可得x₁x₂＋y₁y₂＝0.又y₁＝x₁＋a，y₂＝x₂＋a.所以2x₁x₂＋a(x₁＋x₂)＋a²＝0.
由①②可得a＝－1，满足Δ＞0，故a＝－1.