题目

题型：解答题难度：一般来源：东至县模拟

已知函数y=f（x）在定义域[-1，1]上是奇函数，又是减函数．
（1）证明：对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，有[f（x₁）+f（x₂）]（x₁+x₂）≤0
（2）解不等式f（1-a）+f（1-a²）＜0．

答案

（1）若x₁+x₂=0，显然不等式成立；
若x₁+x₂＜0，则-1＜x₁＜-x₂＜1，∵函数y=f（x）在定义域[-1，1]上是奇函数，又是减函数，
∴f（x₁）＞f（-x₂）=-f（x₂），f（x₁）+f（x₂）＞0，故原不等式成立；
同理可证当x₁+x₂＞0  时，原不等式也成立．
（2）由f（1-a）+f（1-a²）＜0 和已知可得以下不等式组

-1≤1-a2≤1 -1≤a-1≤1 1-a2＞a-1

解得 0≤a＜1．