题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＜0）对一切x∈R都有f（2+x）=f（2-x），且f（1）=

7

2

，f（x）的最大值为

9

2

．
（1）求a和b，c的值；
（2）解不等式f[logc(x2+x+

1

2

)]＜f[logc(2x2-x+

5

8

)]．

答案

（1）∵f（2+x）=f（2-x）
∴二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＜0）的图象关于直线x=2对称．
∴f（2）=4a+2b+c=

9

2

①且f（1）=a+b+c=

7

2

②，-

b

2a

=2③，联立①②③解得：
a=-1，b=4，c=

1

2

．
（2）由（1）知f（x）在（-∞，2]上递增，在[2，+∞）上递减且c=

1

2

．
∴log

1

2

(x2+x+

1

2

)=log

1

2

[(x+

1

2

)2+

1

4

]≤2，log

1

2

(2x2-x+

5

8

)=log

1

2

[2(x-

1

4

)2+

1

2

]≤1，
由原不等式得：log

1

2

(x2+x+

1

2

)＜log

1

2

(2x2-x+

5

8

)⇔

x2+x+ 1 2 ＞0 2x2-x+ 5 8 ＞0 x2+x+ 1 2 ＞2x2-x+ 5 8

⇔1-

14

4

＜x＜1+

14

4

，

故原不等式的解集是{x|1-

14

4

＜x＜1+

14

4

}．