题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)试证明:函数y=f(x)在R上是单调函数;
(2)判断y=f(x)的奇偶性,并证明.
(3)解不等式f(x+3)+f(4x)≤2.
(4)试求函数y=f(x)在[m,n](mn<0且m,n∈R)上的值域.
答案
因为x10.又因为对任意x>0都有f(x)<0,所以f(x2-x1)<0,即f(x2)<f(x1).
所以函数f(x)在R上单调递减.
(2)令x=x′=0,有f(0)=0,令x"=-x,则f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x),
所以函数f(x)为奇函数.
(3)因为f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=-3,f(2)=2f(1),解得f(1)=-1,f(2)=-2,
所以f(-2)=-f(2)=2.所以不等式不等式f(x+3)+f(4x)≤2等价为f[4x+(x+3)]≤f(-2),
因为函数f(x)在R上单调递减,所以5x+3≥-2,即x≥-1.
所以不等式的解集为[-1,+∞).
(4)由(1)知函数f(x)在[m,n]上单调递减,所以函数f(x)的值域为[f(-n),f(-m)].
核心考点
试题【已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x,x′∈R,均有f(x+x′)=f(x)+f(x′),且对任意x>0都有f(x)<0,f(3)=-3.(1)试证明:函】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
x |
x2+1 |
(1)求f(0),f(-1);
(2)求函数f(x)的表达式;
(3)判断并证明函数在区间[0,1]上的单调性.
(x2-ax-a)2 |
3 |
|
1 |
3 |
1 |
3 |
x |
x2+1 |
f(2) | ||
f(
|
f(3) | ||
f(
|
f(2011) | ||
f(
|
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