题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设定义域为R的奇函数y=f（x）是减函数，若当θ∈[0，

π

2

]时，f（cos²θ+2msinθ）+f（-2m-2）＞0恒成立，求m的取值范围．

答案

由条件可得：f（cos²θ+2msinθ）＞-f（-2m-2）
由于y=f（x）是奇函数，故有f（-2m-2）=-f（2m+2）（2分）
即f（cos²θ+2msinθ）＞f（2m+2）
又由于y=f（x）是减函数，等价于cos²θ+2msinθ＜2m+2恒成立．（4分）
设t=sinθ∈[0，1]，等价于t²-2mt+2m+1＞0在t∈[0，1]恒成立．（6分）
只要g（t）=t²-2mt+2m+1在[0，1]的最小值大于0即可．（8分）
（1）当m＜0时，最小值为g（0）=2m+1＞0，所以可得：0＞m＞-

1

2

（2）当0≤m≤1时，最小值为g（m）=-m²+2m+1＞0，所以可得：0≤m≤1
（3）当m＞1时，最小值为g（1）=2＞0恒成立，得：m＞1，（13分）
综之：m＞-

1

2

为所求的范围．（14分）