题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足（1）x＞1时，f（x）＜0；（2）f（

1

2

）=1；（3）对任意的x、y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），求不等式f（x）+f（5-x）≥-2的解集．

答案

需先研究y=f（x）的单调性，任取x₁、x₂∈（0，+∞）且x₁＞x₂，则

x1

x2

＞1．
f（x₁）=f（

x1

x2

•x₂）=f（

x1

x2

）+f（x₂），
∴f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

）＜0．
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．
又f（1）=f（1）+f（1），则f（1）=0．
又∵f（1）=f（2）+f（

1

2

）=f（2）+1=0．
∴f（2）=-1．∴f（4）=2f（2）=-2．
∴原不等式等价于

x＞0 5-x＞0 x(5-x)≤4.

解得{x|0＜x≤1或4≤x＜5}．