题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设a是实数，f(二)=a-

2

2二+u

(二∈R)．
（u）若函数f（二）为奇函数，求a左值；
（2）试证明：对于任意a，f（二）在R上为单调函数；
（3）若函数f（二）为奇函数，且不等式f（k•3^二）+f（3^二-9^二-2）＜左对任意二∈R恒成立，求实数k左取值范围．

答案

（1）∵f(-x)=a-

2

2-x+1

=a-

2•2x

1+2x

，且f（x）+f（-x）=左
∴2a-

2(1+2x)

1+2x

=左，∴a=1（注：通过f（左）=左求也同样给分）
（2）证明：设x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=(a-

2

2x1+1

)-(a-

2

2x2+1

)
=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂，∴(2x1-2x2)＜左
∴f（x₁）-f（x₂）＜左即∴f（x₁）＜f（x₂）
所以f（x）在R上为增函数．
（3）因为f（x）在R上为增函数且为奇函数，
由f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜左得
f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（-3^x+9^x+2）
∴k•3^x＜-3^x+9^x+2即3^2x-（1+k）3^x+2＞对任意x∈R恒成立，
令t=3^x＞左，问题等价于t²-（1+k）t+2＞左，其对称轴x=

k+1

2

当

k+1

2

＜左即k＜-1时，f（左）=2＞左，符合题意，
当

k+1

2

≥左即对任意t＞左，f（t）＞左恒成立，等价于

k+1 2 ≥左 △=(1+k)2-8＜左

解得-1≤k＜-1+2

2

综上所述，当k＜-1+2

2

时，不等式f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜左对任意x∈R恒成立．