题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=a^x-1，其中a＞0且a≠1，
（1）求f（2）+f（-2）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）解关于x的不等式-1＜f（x-1）＜4，结果用集合或区间表示．

答案

（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（2）+f（-2）=f（2）-f（2）=0．
（2）当x＜0时，-x＞0，
∴f（-x）=a^-x-1，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴-f（x）=a^-x-1，即f（x）=-a^-x+1．
∴f(x)=

ax-1，x≥0 -a-x+1，x＜0

．
（3）不等式等价于

x-1＜0 -1＜-a-x+1+1＜4

或

x-1≥0 -1＜ax-1-1＜4

．
当a＞1时，有

x＜1 x＞1-loga2

或

x≥1 x＜1+loga5

，注意此时log_a2＞0，log_a5＞0．
可得此时不等式的解集为（1-log_a2，1+log_a5）．
同理可得，当0＜a＜1时，不等式的解集为R．
综上所述，当a＞1时，不等式的解集为（1-log_a2，1+log_a5）．
当0＜a＜1时，不等式的解集为（-∞，+∞）．