题目

题型：解答题难度：一般来源：上海

已知函数f（x）=x²+2x•tanθ-1，x∈[-1，

3

]，θ∈(-

π

2

，

π

2

)．
（1）当θ=-

π

6

时，求函数f（x）的最大值与最小值；
（2）求θ的取值范围，使y=f（x）在区间[-1，

3

]上是单调函数．

答案

（1）当θ=-

π

6

时，f(x)=x2-

2 3

3

x-1=(x-

3

3

)2-

4

3

，
x∈[-1 ， 

3

]，
∴x=

3

3

时，f（x）的最小值为-

4

3

．
x=-1时，f（x）的最大值为

2 3

3

．
（2）函数f（x）=（x+tanθ）²-1-tan²θ图象的对称轴为x=-tanθ．
∵y=f（x）在区间[-1 ， 

3

]上是单调函数．
∴-tanθ≤-1或-tanθ≥

3

，
即tanθ≥1或　tanθ≤-

3

，
因此θ的取值范围是(-

π

2

 ， -

π

3

]∪[

π

4

 ， 

π

2

)．