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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
设关于x的方程x2-mx-1=0有两个实根α,β,且α<β.定义函数f(x)=
2x-m
x2+1

(1)当α=-1,β=1时,判断f(x)在R上的单调性,并加以证明;
(2)求αf(α)+βf(β)的值.
答案
(1)∵α=-1,β=1,
由韦达定理可得:m=α+β=0
f(x)=
2x
x2+1
------(2分)
设x1<x2
f(x2)-f(x1)=
2x2
x22+1
-
2x1
x12+1
=
2x2.(x12+1)-2x1(x22+1)
(x22+1)(x12+1)
=
2(x2-x1)(1-x1x2)
(x22+1)(x12+1)

∵(x2-x1)>0,
当x2,x1>1时,(1-x1x2)<0,此时f(x2)-f(x1)<0,函数为减函数,
当-1<x2,x1<1时,(1-x1x2)>0,此时f(x2)-f(x1)>0,函数为增函数,
当x2,x1<-1时,(1-x1x2)<0,此时f(x2)-f(x1)<0,函数为减函数,(9分)
(2)∵α,β是方程x2-mx-1=0的两个实根,





α+β=m
α•β=-1

f(α)=
2α-m
α2+1
=
2α-(α+β)
α2-αβ
=
α-β
α(α-β)
=
1
α

同理f(β)=
1
β

∴αf(α)+βf(β)=α•
1
α
+β•
1
β
=1+1=2.(13分)
核心考点
试题【设关于x的方程x2-mx-1=0有两个实根α,β,且α<β.定义函数f(x)=2x-mx2+1(1)当α=-1,β=1时,判断f(x)在R上的单调性,并加以证明】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
函数y=log0.8(-x2+4x)的单调递减区间是(  )
A.(0,2]B.[2,4)C.(-∞,2]D.[2,+∞)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知f(x)在R上是奇函数,且f(x+2)=-f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(2011)等于______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=
1
1-x(1-x)
的最大值为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=
ax+b
1+x2
是定义域为(-1,1)上的奇函数,且f(1)=
1
2

(1)求f(x)的解析式;
(2)用定义证明:f(x)在(-1,1)上是增函数;
(3)若实数t满足f(2t-1)+f(t-1)<0,求实数t的范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
若函数y=ax2+2(a-1)x+2在区间(-∞,-4)上是减函数,则实数a的取值范围是(  )
A.a>0B.0<a<1C.0<a<1或a≥5D.1<a≤5
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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