设函数f(x)=x+λx，常数λ＞0．（1）若λ=1，判断f（x）在区间[1，4]上的单调性，并加以证明；（2）若f（x）在区间[1，4]上的单调递增，求λ的取 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数f(x)=x+

，常数λ＞0．
（1）若λ=1，判断f（x）在区间[1，4]上的单调性，并加以证明；
（2）若f（x）在区间[1，4]上的单调递增，求λ的取值范围．

答案

（1）f（x）=x+

，∀x₁，x₂∈[1，4]且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

）-（x₂+

）=（x₁-x₂）

x1x2-1

x1x2

…（3分）
∵x₁，x₂∈[1，4]，x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x）在区间[1，4]上的单调递增．…（6分）
（2）∀x₁，x₂∈[1，4]且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

）-（x₂+

）=（x₁-x₂）

x1x2-λ

x1x2

…（8分）
∵f（x）在区间[1，4]上的单调递增
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∵1≤x₁＜x₂≤4，
∴x₁x₂-λ＞0对∀x₁，x₂∈[1，4]且x₁＜x₂恒成立…（10分）
即λ＜x₁x₂∴λ≤1
∵λ＞0
∴0＜λ≤1…（12分）

核心考点

试题【设函数f(x)=x+λx，常数λ＞0．（1）若λ=1，判断f（x）在区间[1，4]上的单调性，并加以证明；（2）若f（x）在区间[1，4]上的单调递增，求λ的取】；主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知函数|f(x)|=|x|

2-x2

的最大值为M，g（x）=x²-（2a+1）x+a²+M，a∈R．
（1）求M的值；
（2）解关于x的不等式g（x）＞x．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数，且在（-∞，0）上为增函数的为______
①f（x）=-x²-2x+1②f(x)=(

)|x-1|③f(x)=

x-1

④f(x)=|log

x|⑤y=x-，

．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

若f（x）=

1+x

，f(1)+f(2)+f(

)+f(3)+f(

)+f(4)+f(

)=______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)=(

)x，则f（-2+log₃5）=______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

函数y=

x+k

在区间（0，+∞）上为增函数，则实数k的取值范围是 ______．

题型：填空题难度：简单| 查看答案

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