题目
题型：单选题难度：简单来源：门头沟区一模
| A．f（x）是偶函数且在（0，+∞）上单调递减 |
| B．f（x）是偶函数且在（0，+∞）上单调递增 |
| C．f（x）是奇函数且单调递减 |
| D．f（x）是奇函数且单调递增 |
答案
又∵函数对一切x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0，得f（0）=2f（0），∴f（0）=0．
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
任取x1＜x2，x2-x1＞0，则f（x2-x1）＞0
∴f（x2）+f（-x1）＞0；
对f（x+y）=f（x）+f（y）取x=y=0得：f（0）=0，
再取y=-x得f（x）+f（-x）=0即f（-x）=-f（x），
∴有f（x2）-f（x1）＞0
∴f（x2）＞f（x1）
∴f（x）在R上递增．
故选D．
核心考点
试题【已知函数f（x）满足：①∀x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），②∀x＞0，f（x）＞0，则（ ）A．f（x）是偶函数且在（0，+∞）上单调递减B．f】；主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
| A．2 | B．3 | C．6 | D．9 |
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（1）求证：f（x）在R上是增函数
（2）若f（k•3x）+f（3x-9x-2）＜0对∀x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
（1）若函数f（x）为理想函数，求f（0）的值；
（2）判断函数g（x）=2x-1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并予以证明；
（3）若函数f（x）为理想函数，假定?x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f（f（x0））=x0，求证f（x0）=x0．
（1）判断函数y=sinx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”求出所有a的值；若不具有“P（a）性质”，请说明理由．
（2）已知y=f（x）具有“P（0）性质”，且当x≤0时f（x）=（x+m）2，求y=f（x）在[0，1]上的最大值．
（3）设函数y=g（x）具有“P（±1）性质”，且当-