题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知平面向量

a

=(

3

，-1)，

b

=(

1

2

，

3

2

)
（1）证明：

a

⊥

b

；
（2）若存在实数k和t，满足

x

=(t+2)

a

+(t2-t-5)

b

，

y

=-k

a

+4

b

，且

x

⊥

y

，试求出k关于t的关系式，即k=f（t）；
（3）根据（2）的结论，试求出函数k=f（t）在t∈（-2，2）上的最小值．

答案

（1）∵

a

•

b

=

3

2

-

3

2

=0，
∴

a

⊥

b

；
（2）由（1）可知

a

•

b

=0，且|

a

|=2，|

b

|=1，
∴

x

•

y

=-(t+2)•k•(

a

)2+4(t2-t-5)•(

b

)2=0，
∴k=

t2-t-5

t+2

（t≠-2）；
（3）k=

t2-t-5

t+2

=t+2+

1

t+2

-5，
∵t∈（-2，2），
∴t+2＞0，
则k=t+2+

1

t+2

-5≥-3，
当且仅当t+2=1，
，即t=-1时取等号，
∴k的最小值为-3．