题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）对任意的x，y∈R，都有f（x）+f（y）=f（x+y）．
（1）求f（0）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）若f（1）=1，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，求满足不等式f（2^x-x）+f（x）＞4的x的取值范围．

答案

（1）取y=0，得f（x）+f（0）=f（x+0）=f（x），
∴f（0）=0；
（2）取y=-x，得f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴对任意x∈R，都有f（-x）=-f（x）
由此可得，f（x）是定义在R 上的奇函数；
（3）∵f（1）=1，可得f（2）=f（1）+f（1）=2
∴f（4）=f（2）+f（2）=2+2=4
不等式f（2^x-x）+f（x）＞4，可化成f（2^x-x+x）＞f（4），即f（2^x）＞f（4），
∵f（x）在[0，+∞）上是增函数，
∴2^x＞4，解之得x＞2，
即满足不等式f（2^x-x）+f（x）＞4的x的取值范围为（2，+∞）．