题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=1+a•(

1

2

)x+(

1

4

)x；g（x）=

1-m•2x

1+m•2x

．
（1）若对任意x∈[0，+∞），总有f（x）＞0成立，求实数a的取值范围；
（2）若m＞0（m为常数），且对任意x∈[0，1]，总有|g（x）|≤M成立，求M的取值范围．

答案

（1）令t=(

1

2

)x，∵x∈[0，+∞），∴0＜t≤1，且 t²+at+1＞0恒成立，∴△=a²-4＜0，解得-2＜a＜2，
故实数a的取值范围为（-2，2）．
（2）令2^x=h，则当x∈[0，1]时，h∈[1，2]，|

1-mh

1+mh

|≤M恒成立．
∵m＞0，而|

1-mh

1+mh

|=|-1+

2

1+mh

|≤1+

2

1+mh

≤1+

2

1+m

，∴1+

2

1+m

≤M，
故M的取值范围为[1+

2

1+m

，+∞）．