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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)在(-3,3)上是奇函数,且对任意x,y都有f(x)-f(y)=f(x-y),当x<0时,f(x)>0,f(1)=-2
(1)求f(2)的值;
(2)判断f(x)的单调性,并证明;
(3)若函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x),求不等式g(x)≤0的解集.
答案
(1)令x=2,y=1,
由f(x)-f(y)=f(x-y),得f(2)-f(1)=f(2-1)=f(1),
又f(1)=-2,解得f(2)=-4.
(2)f(x)在(-3,3)上是减函数.
证明:在(-3,3)上任取x1,x2,且x1<x2,则x1-x2<0,
令x=x1,y=x2
由f(x)-f(y)=f(x-y),得f(x1)-f(x2)=f(x1-x2),
∵当x<0时,f(x)>0,且x1-x2<0,
∴f(x1-x2)>0,即f(x1)-f(x2)>0,∴f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(-3,3)上是减函数.
(3)由函数f(x)在(-3,3)上是奇函数,
得g(x)=f(x-1)+f(3-2x)=f(x-1)-f(2x-3),
g(x)≤0的解集即是f(x-1)-f(2x-3)≤0的解集.
f(x-1)-f(2x-3)≤0即是f(x-1)≤f(2x-3),
由(2)知奇函数f(x) 在(-3,3)上是减函数,
则有





x-1≥2x-3
-3<x-1<3
-3<2x-3<3
,解得0<x≤2.
∴不等式g(x)≤0的解集为{x|0<x≤2}.
核心考点
试题【设函数f(x)在(-3,3)上是奇函数,且对任意x,y都有f(x)-f(y)=f(x-y),当x<0时,f(x)>0,f(1)=-2(1)求f(2)的值;(2)】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
若f(cosx)=cos2x,则f(sin
π
6
) 的值(  )
A.


3
2
B.-


3
2
C.-
1
2
D.
1
2
题型:单选题难度:简单| 查看答案
f(x)=





2ex-1
log3(x2-1)
(x<2)
(x≥2)
则f[f(2)]=(  )
A.2B.3C.9D.18
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)与函数g(x)=log
1
2
x
的图象关于直线y=x对称,则函数f(x2+2x)的单调递增区间是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
函数f(x)=x+


x-1
的最小值是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知奇函数函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),当x>0时,f(x)=1-
1
x

(1)求f(-2)的值;
(2)当x<0时,求f(x)的解析式;
(3)求证:函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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