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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知定义域为(-1,1)的函数f(x)=
x
x2+1

(Ⅰ)判断函数f(x)奇偶性并加以证明;
(Ⅱ)判断函数f(x)的单调性并用定义加以证明;
(Ⅲ)解关于x的不等式f(x-1)+f(x)<0.
答案
(I)f(x)为定义域上的奇函数,证明如下:
定义域为(-1,1),关于原点对称,
又f(-x)=
-x
(-x)2+1
=
-x
x2+1
=-f(x),
∴f(x)为奇函数;
(II)f(x)在(-1,1)上单调递增,证明如下:
任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2
则f(x1)-f(x2)=
x1
x12+1
-
x2
x22+1

=
x1(x22+1)-x2(x12+1)
(x12+1)(x22+1)

=
(x2-x1)(x1x2-1)
(x12+1)(x22+1)

∵x1,x2∈(-1,1),且x1<x2
∴x2-x1>0,x1x2-1<0,x12+1>0x22+1>0
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
∴f(x)在(-1,1)上单调递增;
(III)由(Ⅰ)知,f(x)为奇函数,
∴f(x-1)+f(x)<0等价于f(x-1)<-f(x)=f(-x),
由(Ⅱ)知f(x)单调递增,





x-1<-x
-1<x-1<1
-1<x<1
,解得0<x<
1
2

∴不等式的解集为:(0,
1
2
)
核心考点
试题【已知定义域为(-1,1)的函数f(x)=xx2+1.(Ⅰ)判断函数f(x)奇偶性并加以证明;(Ⅱ)判断函数f(x)的单调性并用定义加以证明;(Ⅲ)解关于x的不等】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=x+
4
x

(1)用定义证明函数f(x)在(0,2)上为减函数;
(2)若x∈[1,2],求函数f(x)的值域.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
下列函数中,在定义域上既是减函数又是奇函数的是(  )
A.y=lgxB.y=(
1
2
)x
C.y=x|x|D.y=-x3
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=
x2
1+x2
,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(
1
2
)+f(
1
3
)+f(
1
4
)+f(
1
5
)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
下列区间中,函数f(x)=|ln(2-x)|在其上为增函数的是(  )
A.(-∞,1]B.[-1,
4
3
]
C.[0,
3
2
D.[1,2)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
下列函数中,既是奇函数,又在R上是增函数的是(  )
A.y=x
2
3
B.y=-x|x|C.y=2x+2-xD.y=2x-2-x
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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