题目
题型:解答题难度:简单来源:不详
(1)当时, 求的单调区间、极值;
(2)求证:在(1)的条件下,;
(3)是否存在实数,使的最小值是,若存在,求出的值;若不存在,说明理由
答案
(1)的的单调递减区间为(0,1);单调递增区间为(1,e);的极小值为
(3)
解析
∴当时,,此时单调递减
当时,,此时单调递增 …………………………………3分
的的单调递减区间为(0,1);单调递增区间为(1,e);
的极小值为 ………………………………………………4分
(2)由(1)知在上的最小值为1, ……………………………………5分
令,
, ………………………6分
当时,,在上单调递增 …………………………………7分
∴ w
∴在(1)的条件下, …………………………………………………8分
(1)假设存在实数,使()有最小值,
……………………………………………………9分
①当时,
,
在上单调递增,此时无最小值. …10分
②当时,
若,故在上单调递减,
若,故在上单调递增.
,得,满足条件. ……………………………12分
③当时,
,在上单调递减,
(舍去),
所以,此时无最小值. ……13分
综上,存在实数,使得当时的最小值是……………………14分
(3)法二:假设存在实数,使的最小值是,
故原问题等价于:不等式对恒成立,求“等号”取得时实数a的值.
即不等式对恒成立,求“等号”取得时实数a的值.
设 即 , ………………10分
又 ……………………………11分
令
当,,则在单调递增;
当,,则在单调递减. ……………………13分
故当时,取得最大值,其值是 .
故
综上,存在实数,使得当时的最小值是.……………………14分
核心考点
试题【(1)当时, 求的单调区间、极值;(2)求证:在(1)的条件下,;(3)是否存在实数,使的最小值是,若存在,求出的值;若不存在,说明理由】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)在图5给定的直角坐标系内画出的图象;
(2)写出的单调递增区间.
的偶函数,其图象关于点对称,且在区间上是单调
函数.求的值.
(1)求常数的值
(2)当a>0时,设,且,求的单调区间
(1)当时,求所有使成立的的值;
(2)当时,求函数在闭区间上的最小值;
(3)试讨论函数的图像与直线的交点个数
①对任意,,,都有;
②对任意都有.
(Ⅰ)试证明:为上的单调增函数;
(Ⅱ)求;
(Ⅲ)令,,试证明:
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