题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

（本题满分12分）
已知函数
（1）若函数存在单调递减区间，求a的取值范围；
（2）当a>0时，试讨论这两个函数图象的交点个数．

答案

（1）a>1
（2）有且仅有两个交点

解析

（1）
若使存在单调递减区间，则上有解．……1分
而当
问题转化为上有解，故a大于函数上的最小值．
………………3分
又上的最小值为-1，所以a>1．……4分
（2）令
函数的交点个数即为函数的零点的个数．……5分

令解得
随着x的变化，的变化情况如下表：

	-	0	+
	单调递减	极（最）小值2+lna	单调递增

                                                                     …………7分
①当恒大于0，函数无零点．……8分
②当由上表，函数有且仅有一个零点．
……9分
③显然
内单调递减，
所以内有且仅有一个零点                                                      …………10分
当
由指数函数与幂函数增长速度的快慢，知存在
使得
从而
因而
又内单调递增，上的图象是连续不断的曲线，
所以内有且仅有一个零点．  …………11分
因此，有且仅有两个零点．
综上，的图象无交点；当的图象有且仅有一个交点；的图像有且仅有两个交点．……12分