题目

题型：不详难度：来源：

设P，Q是复平面上的点集，P={z|z•

.

z

+3i(z-

.

z

)+5=0}，Q={ω|ω=2iz，z∈P}
（1）P，Q分别表示什么曲线？（2）设z₁∈P，z₂∈Q，求|z₁-z₂|的最大值与最小值．

答案

（1）设z=x+yi（x，y∈R），
则集合P{（x，y）|x²+y²-6y+5=0}={（x，y）|x²+（y-3）²=4}，
故P表示以（0，3）为圆心，2为半径的圆；                         
设ω=x+yi（x，y∈R），z=x₀+y₀i∈P（x₀，y₀∈R）且ω=2iz，
则

x=-2y0 y=2x0

将

x0= 1 2 y y0=- 1 2 x

代入x²+（y-3）²=4得（x+6）²+y²=16，
故Q表示以（-6，0）为圆心，4为半径的圆；                       
（2）|z₁-z₂|表示分别在圆P，Q上的两个动点间的距离，又圆心距|PQ|=3

5

＞2+4，
故|z₁-z₂|最大值为6+3

5

，最小值为3

5

-6．