题目
题型:解答题难度:简单来源:不详
已知函数.
(1)求证:函数在上是单调递增函数;
(2)当时,求函数在上的最值;
(3)函数在上恒有成立,求的取值范围.
答案
解析
试题分析:(1)证明函数在上是单调递增函数本质就是证明在上恒成立.
(2)当时,令,然后得到极值点,进而求出极值,再与值比较从而得到f(x)的最大值与最小值.
(3) 函数在上恒有成立问题应转化为,
然后利用导数研究f(x)在区间[1,2]的极值,最值即可求出其最小值,问题得解.
(1)(法一:定义法)
任取且,则. ········1分
∵,
∴. ·······3分
∴ 函数在上是单调递增函数. ········4分
(法二:导数法)
当,
∴ 函数在上是单调递增函数. ········4分
(2) 当时,;
由(1)知函数在上是单调递增函数. ·······5分
∴,即 ·······7分
∴ 的最小值为,此时;无最大值. ·······8分
(3) 依题意, ,即在上恒成立.
∵函数在上单调递减,∴ ······11分
∴ ,
又. ∴
故的取值范围是. ·······14分
点评:(1)连续可导函数在某个区间I上单调递增(减)等价于在区间I上恒成立.
(2)在求某个区间上的最值时,应先求出极值,然后从极值与区间端点对应的函数值当中找到最大值和最小值.
(3)不等式恒成立问题一般要转化为函数最值来研究.
核心考点
举一反三
(1)若,求的值;
(2)若的图像与直线相切于点,求的值;
(3)在(2)的条件下,求函数的单调区间.
(1)化简:;
(2)画出函数在上的图像;
(3)证明:在上是减函数.
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