题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f()＝f(x₁)－f(x₂)，且当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性；
(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2.

答案

（1）0
（2）函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数
（3）{x|x>9或x<－9}

解析

解：(1)令x₁＝x₂>0，代入得f(1)＝f(x₁)－f(x₁)＝0，故f(1)＝0.
(2)任取x₁，x₂∈(0，＋∞)，且x₁>x₂，则>1.
由于当x>1时，f(x)<0，所以f()<0，即f(x₁)－f(x₂)<0，
因此f(x₁)<f(x₂)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．
(3)令x₁＝9，x₂＝3，由f()＝f(x₁)－f(x₂)，得f()＝f(9)－f(3)，
而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.
由于函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，
所以f(|x|)<f(9)，即|x|>9，解得x>9或x<－9，
因此原不等式的解集为{x|x>9或x<－9}．