题目

题型：解答题难度：困难来源：浙江省模拟题

已知函数满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个实数根．
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；
(Ⅱ)设数列{a_n}满足a₁=l，a_n+1=f(a_n)≠l，n∈N*，求数列{a_n}的通项公式；
(Ⅲ)定义，对于(Ⅱ)中的数列{a_n}，令，设S_n为数列{b_n}的前n项和，求证：S_n＞ln(n+1)．

答案

解：(Ⅰ)由，得，
又有且仅有一个解，即有唯一解满足，且，
∵a≠0，
∴当时，b=1，x=0，
则，此时，
又当时，，
因此，
所以，，
则a=1，此时，，
综上所述，或者。
(Ⅱ)，
当时，，不合题意；
则，
∴，
则。
 (Ⅲ)由(Ⅱ)知，，
∴，则，
所以，，
设数列{c_n}的前n项和为，
则，
当n≥2时，，
要证明，
令，只要证明，其中t＞1，
令，
则，
所以，在上是增函数，
则当x＞1时，，即，
所以，，
则。
说明：也可用数学归纳法证明，为此，先证明，
即证：lnt＜t-1，其中t>l。