题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

函数f（x）=log_a（x-3），当点P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，Q（x-2，-y）是函数y=g（x）图象上的点．
（1）写出函数y=g（x）的解析式．
（2）若f（x）＞g（x），求x的取值范围．

答案

（1）设Q（x，y）是函数y=g（x）图象上的点，则P（x+2，-y）是函数y=f（x）图象上的点，则点P的坐标满足y=f（x）的解析式，即有-y=log_a（x+2-3），从而y=-log_a（x-1），这就是函数y=g（x）的解析式．
（2）若f（x）＞g（x），则有log_a（x-3）＞-log_a（x-1）⇔log_a（x-3）+log_a（x-1）＞0．
①当a＞1时，上不等式等价于

x-3＞0 x-1＞0 (x-3)(x-1)＞1

，解得x的取值范围是（2+

2

，+∞）；
②当0＜a＜1时，上不等式等价于

x-3＞0 x-1＞0 0＜(x-3)(x-1)＜1

，解得x的取值范围是（3，2+

2

）．
综上，当a＞1时，x的取值范围是（2+

2

，+∞）；当0＜a＜1时，x的取值范围是（3，2+

2

）．