题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f（x）=x²+C，且f[f（x）]=f（x²+1）
（1）设g（x）=f[（x）]，求g（x）的解析式．
（2）设ϑ（x）=g（x）-λf（x），试问是否存在实数λ，使ϑ（x）在（-∞，-1）上是减函数，并且在（-1，0）上是增函数．

答案

（1）由题意可知：
f（x）=x²+C，且f[f（x）]=f（x²+1）
∴（x²+c）²+c=（x²+1）²+c
∴x⁴+2cx²+c²=x⁴+2x²+1
∴

2c=2 c2=1

，解得：c=1．
∴f（x）=x²+1，∵g（x）=f[（x）]，
∴函数g（x）的解析式为：g（x）=x⁴+2x²+2．
（2）由（1）可知：f（x）=x²+1、g（x）=x⁴+2x²+2，
∵ϑ（x）=g（x）-λf（x），
∴θ（x）=x⁴+（2-λ）x²+2-λ，∴θ′（x）=4x³+2（2-λ）x
假设存在使的ϑ（x）在（-∞，-1）上是减函数，并且在（-1，0）上是增函数．
则θ′（-1）=0
∴-4-2（2-λ）=0，∴λ=4．
此时：θ（x）=x⁴-2x²-2，∴θ′（x）=4x³-4x．
由θ′（x）＞0解得，x∈（-1，0）∪（1，+∞）；
由θ′（x）＜0解得，x∈（-∞，-1）∪（0，1）．
故满足题意．
所以存在λ=4使的ϑ（x）在（-∞，-1）上是减函数，并且在（-1，0）上是增函数．