题目

题型：解答题难度：一般来源：湖北省高考真题

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数。当桥上的车流密度达200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时。研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数。
（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x· v（x）可以达到最大，并求出最大值。（精确到1辆/小时）

答案

解：（1）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；
当20≤x≤200时，设v（x）=ax+b，
再由已知得，解得
故函数v（x）的表达式为
。
（2）依题意并由（1）可得

当0≤x≤20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60× 20=1200
当20≤x≤200时，
当且仅当x=200-x，即x=100时，等号成立
所以，当x=100时，f（x）在区间[20，200]上取得最大值
综上，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值3333
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。