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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
函数f(x)的定义域为{x|x≠0},且满足对于定义域内任意的x1,x2都有等式f(x1•x2)=f(x1)+f(x2
(1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明;
(3)若f(4)=1,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,解关于x的不等式f(3x+1)+f(2x-6)≤3.
答案
(1)令x1=1,得f(1•x2)=f(1)+f(x2)=f(x2
∴f(1)=0;
(2)令x1=x2=-1,得f(-1•(-1))=f(-1)+f(-1)=f(1)=0
∴f(-1)=0
因此f(-x)=f(-1•x)=f(-1)+f(x)=f(x)
∴f(x)为偶函数
(3)∵f(4)=1,∴f(16)=f(4•4)=f(4)+f(4)=2
因此,f(64)=f(16•4)=f(16)+f(4)=3
∴不等式f(3x+1)+f(2x-6)≤3即f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64)
∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,且是偶函数
∴原不等式可化为-64≤(3x+1)(2x-6)≤64
解之得:-
7
3
≤x≤5
∵函数定义域为{x|x≠0}
∴(3x+1)(2x-6)≠0,得x≠-
1
3
且x≠3
综上所述,原不等式的解集为{x|:-
7
3
≤x≤5且x≠-
1
3
且x≠3}
核心考点
试题【函数f(x)的定义域为{x|x≠0},且满足对于定义域内任意的x1,x2都有等式f(x1•x2)=f(x1)+f(x2)(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)】;主要考察你对分段函数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足条件:
①f(x•y)=f(x)+f(y)    ②f(2)=1    ③当x>1时,f(x)>0
(1)求f(1)的值;
(2)讨论函数f(x)的单调性;
(3)求满足f(x)+f(2x)≤2的x的取值范围.
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函数f(x)对任意实数x,y满足f(x)+f(y)=f(x+y),且f(2)=4,则f(0)+f(-2)=______.
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f(x)=





1
x
,x>0
x2,x≤0
,则不等式f(x)>1的解集为 ______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数f(x)的定义域为R*,若对于定义域内任意的x,y均有f(xy)=f(x)+f(y),又已知f(2)=a,f(3)=b,用a,b表示f(72)的值,f(72)=______.
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已知a,b∈N+,f(a+b)=f(a)•f(b),f(1)=2,
f(2)
f(1)
+
f(3)
f(2)
 +…+
f(2010)
f(2009)
+
f(2011)
f(2010)
=______.
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