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题目
题型:填空题难度:一般来源:不详
已知a为实数,且0<a<1,f(x)是定义在[0,1]上的函数,满足f(0)=0,f(1)=1,对所有x≤y,均有f(
x+y
2
)=(1-a)f(x)+af(y),则a的值是______.
答案
由f(
x+y
2
)=(1-a)f(x)+af(y),
令x=0,y=1,可得f(
1
2
)=(1-a)f(0)+af(1)=a,
令x=0,y=
1
2
,可得f(
1
4
)=(1-a)f(0)+af(
1
2
)=a2
令x=
1
2
,y=1,可得f(
3
4
)=(1-a)f(
1
2
)+af(1)=2a-a2
令x=
1
4
,y=
3
4
,可得f(
1
2
)=(1-a)f(
1
4
)+af(
3
4

∴a=(1-a)a2+a(2a-a2
∴a(2a-1)(a-1)=0
∵0<a<1,
∴a=
1
2

故答案为:
1
2
核心考点
试题【已知a为实数,且0<a<1,f(x)是定义在[0,1]上的函数,满足f(0)=0,f(1)=1,对所有x≤y,均有f(x+y2)=(1-a)f(x)+af(y)】;主要考察你对分段函数等知识点的理解。[详细]
举一反三
国内快递1000g以内的包裹的邮资标准如下表:
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运送距离x (km)0<x≤500500<x≤10001000<x≤15001500<x≤2000
邮资y (元)5.006.007.008.00
函数f(x)的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x∈R,有f(x)>0;②对任意x,y∈R,有f(xy)=[f(x)]y;③f(
1
3
)>1.
(1)求f(0)的值;
(2)求证:f(x)在R上是单调增函数;
(3)若a>b>c>0且b2=ac,求证:f(a)+f(c)>2f(b).
已知函数f(x)=





log2x,x>0
2x
 x≤0
则满足不等式f(f(x))>1的x的取值范围是______.
已知函数y=f(x)的图象是折线段ABC,其中A(0,0)、B(
1
2
,1)
、C(1,0),函数y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为______.
若函数f(x)具有性质:f(
1
x
)=-f(x)
,则称f(x)是满足“倒负”变换的函数.下列四个函数:
①f(x)=logax(a>0且a≠1);        
②f(x)=ax(a>0且a≠1);
y=x-
1
x
;                      
 ④f(x)=





x   ,(0<x<1)
0,(x=1)
-
1
x
  ,(x>1)

其中,满足“倒负”变换的所有函数的序号是______.