题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

函数f（x）=log₃（a^x-1），（a＞0，且a≠1）．
（1）求该函数的定义域；
（2）若该函数的图象经过点M（2，1），讨论f（x）的单调性并证明．

答案

（1）当a＞1时，由函数f（x）=log₃（a^x-1），可得a^x-1＞0，a^x＞1，解得x＞0，故函数的定义域为（0，+∞）．
当0＜a＜1时，由函数f（x）=log₃（a^x-1），可得a^x-1＞0，a^x＞1，解得x＜0，故函数的定义域为（-∞，0）．
（2）若该函数的图象经过点M（2，1），则有 log₃（a²-1）=1，∴a²=4，∴a=2．
故函数f（x）=log3(2x-1)，它的定义域为（0，+∞）．
设x₂＞x₁＞0，则 f（x₂）-f（x₁）=log3(2x2-1)-log3(2x1-1)=log3

2x2-1

2x1-1

．
再由题设x₂＞x₁＞0，可得2x2-1＞2x1-1＞0，∴

2x2-1

2x1-1

＞1，∴log3

2x2-1

2x1-1

＞0，∴f（x₂）＞f（x₁），
故函数f（x）=log3(2x-1) 在（0，+∞）上是增函数．