题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=a|x|+

2

ax

(x∈R，a＞1），
（1）求函数f（x）的值域；
（2）记函数g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞]，若g（x）的最小值与a无关，求a的取值范围；
（3）若m＞2

2

，直接写出（不需给出演算步骤）关于x的方程f（x）=m的解集．

答案

（1）①x≥0时，∵ax≥1，f(x)=a|x|+

2

ax

=ax+

2

ax

≥2

2

，
当且仅当ax=

2

ax

，即ax=

2

＞1时等号成立；
②x＜0，∵a＞1，∴0＜ax＜1，∴f(x)=

3

ax

＞3，
由①②知函数f（x）的值域为[2

2

，+∞)．
（2）g（x）=f（-x）=a^|x|+2a^x，x∈[-2，+∞），
①x≥0，∵a＞1，∴a^x≥1，g（x）=3a^x，∴g（x）≥3，
②-2≤x＜0时，∵a＞1，

1

a2

≤ax＜1，g(x)=a-x+2ax，
令t=a^x，则g(x)=2t+

1

t

，记h(t)=2t+

1

t

.(

1

a2

≤t＜1)，h(t)=2t+

1

t

≥2

2

，当且仅当2t=

1

t

，t=

2

2

时等号成立，
（i）

1

a2

≤

2

2

，即a≥

4	2

时，结合①知g(x)min=2

2

与a无关；
（ii）

1

a2

＞

2

2

，即1＜a＜

4	2

时，h′(t)=2-

1

t2

≥2-a4＞0，∴h（t）在[

1

a2

，1)上是增函数，g(x)min=h(t)min=h(

1

a2

)=a2+

2

a2

＜3，
结合①知g(x)min=a2+

2

a2

与a有关；
综上，若g（x）的最小值与a无关，则实数a的取值范围是a≥

4	2

．
（3）①2

2

＜m≤3时，关于x的方程f（x）=m的解集为{x|x=loga

m± m2-8

2

}；
②m＞3时，关于x的方程f（x）=m的解集为{x|x=loga

m+ m2-8

2

或x=loga

3

m

}．