题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f（x）=x²-2ax+5（a＞1）
（Ⅰ）若f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，且对任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，求a的取值范围．

答案

f（x）=（x-a）²+5-a²
（I）．由f（x）的对称轴是x=a知函数在[1，a]递减，
故

f(1)=a f(a)=1

，解可得a=2
（II）由f（x）在区间（-∞，2]上是减函数得a≥2，
当f（x₁）、f（x₂）分别是函数f（x）的最小值与最大值时不等式恒成立．
故函数在区间[1，a+1]上的最小值是f（a）=5-a²，
又因为a-1≥（a+1）-a，所以函数的最大值是f（1）=6-2a，
由|f（x₁）-f（x₂）|≤4知（6-2a）-（5-a²）≤4，解得2≤a≤3．