题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(1)＝－2.
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)求证：f(x)是R上的减函数；
(3)求f(x)在区间[－3,3]上的值域；
(4)若∀x∈R，不等式f(ax²)－2f(x)<f(x)＋4恒成立，求a的取值范围．

答案

（1）奇函数
（2）见解析
（3）[－6,6]
（4）(，＋∞)

解析

解：(1)取x＝y＝0，则f(0＋0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.
取y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，
∴f(－x)＝－f(x)对任意x∈R恒成立，∴f(x)为奇函数．
(2)证明： 任取x₁，x₂∈(－∞，＋∞)，且x₁<x₂，则x₂－x₁>0，f(x₂)＋f(－x₁)＝f(x₂－x₁)<0，
∴f(x₂)<－f(－x₁)，又f(x)为奇函数，
∴f(x₁)>f(x₂)．
∴f(x)是R上的减函数．
(3)由(2)知f(x)在R上为减函数，
∴对任意x∈[－3,3]，恒有f(3)≤f(x)≤f(－3)，
∵f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝－2×3＝－6，
∴f(－3)＝－f(3)＝6，f(x)在[－3,3]上的值域为[－6,6]．
(4)f(x)为奇函数，整理原式得f(ax²)＋f(－2x)<f(x)＋f(－2)，
则f(ax²－2x)<f(x－2)，
∵f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，∴ax²－2x>x－2，
当a＝0时，－2x>x－2在R上不是恒成立，与题意矛盾；
当a>0时，ax²－2x－x＋2>0，要使不等式恒成立，则Δ＝9－8a<0，即a>；
当a<0时，ax²－3x＋2>0在R上不是恒成立，不合题意．
综上所述，a的取值范围为(，＋∞)．