题目
题型:不详难度:来源:
(1)判断S1,S2,…,SN的大小关系,并指出除第N批外,每批至少取走的卡片数为多少?
(2)当n=1,2,3,…,N-2时,求证:Sn<
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n |
(3)对于任意满足条件的有限张卡片,证明:N≤11.
答案
假设每批取出卡片不多于3张,则这3张卡片上的数之和不大于90,而剩下的每个数不大于30,
由已知条件知,应该选4张,与假设矛盾,除第N批外,每批至少取走的卡片数为4张.
(2)证明:当取出第n批后,因为n=1,2,3,…,N-2,此时第n+1批卡片还没取完,
此时余下的每个数必大于120-Sn+1,余下数之和更大于120-Sn+1,
即1080-(S1+S2+…+Sn+1)>120-Sn+1,
由此可得S1+S2+…+Sn<960,
因为nSn≤S1+S2+…+Sn,从而Sn<
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n |
(3)证明:假设N>11,即第11批卡片取走后,还有卡片没被分完,由已知可知余下的每个数都大于120-S11,
且120-S11≥120-S10,故余下的每个数>120-S11≥120-S10>120-
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10 |
因为第11组卡片中至少含有4张,所以第11组卡片上的所有数之和S11大于24×4=96,从而S10≥S11>96,
这与(2)中的S10<96矛盾,所以N≤11.
核心考点
试题【已知有限张卡片,每张卡片上各写有一个小于30的正数,所有卡片上数的和为1080.现将这些卡片按下列要求一批一批地取走(不放回)直至取完.首先从这些卡片中取出第一】;主要考察你对数据的整理与描述等知识点的理解。[详细]
举一反三