题目
题型:不详难度:来源:
问题:如图1,在正方形ABCD和正方形CEFG中,点B、C、E在同一条直线上,M是线段AF的中点,连接DM,MG.探究线段DM与MG数量与位置有何关系.
小聪同学的思路是:延长DM交GF于H,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决.
请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:
(1)直接写出上面问题中线段DM与MG数量与位置有何关系______;
(2)将图1中的正方形CEFG绕点C顺时针旋转,使正方形CEFG对角线CF恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图2).你在(1)中得到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.
(3)如图3,将正方形CEFG绕点C顺时针旋转任意角度,原问题中的其他条件不变,写出你的猜想.
答案
∴∠DAM=∠HFM,
∵M是线段AF的中点,
∴AM=FM,
在△ADM和△FHM中,
|
∴△ADM≌△FHM(ASA),
∴DM=HM,AD=FH,
∵GD=CG-CD,GH=GF-FH,AD=CD,CG=GF,
∴GD=GH,
∴△DGH是等腰直角三角形,
∴DM=MG且DM⊥MG;
(2)如图2,延长DM交CF于H,连接GD,GH,
同(1)可得DM=HM,AD=FH,
∵CF恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上,
∴∠DCG=90°-45°=45°,
∠HFG=45°,
∴∠DCG=∠HFG,
在△CDG和△FHG中,
|
∴△CDG≌△FHG(SAS),
∴GD=GH,∠CGD=∠FGH,
∴∠DGH=∠CGD+∠CGH=∠FGH+∠CGH=∠CGF=90°,
∴△DGH是等腰直角三角形,
∴DM=MG且DM⊥MG;
(3)如图3,过点F作FH∥AD交DM的延长线于H,交DC的延长线于N,
同(1)可得DM=HM,AD=FH,
易得∠NCE=∠EFN,
∵∠DCG+∠NCE=180°-90°=90°,
∠HFG+∠EFN=90°,
∴∠DCG=∠HFG,
在△CDG和△FHG中,
|
∴△CDG≌△FHG(SAS),
∴GD=GH,∠CGD=∠FGH,
∴∠DGH=∠CGD+∠CGH=∠FGH+∠CGH=∠CGF=90°,
∴△DGH是等腰直角三角形,
∴DM=MG且DM⊥MG.
核心考点
试题【请阅读下列材料:问题:如图1,在正方形ABCD和正方形CEFG中,点B、C、E在同一条直线上,M是线段AF的中点,连接DM,MG.探究线段DM与MG数量与位置有】;主要考察你对图形的旋转等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)作出△AB′C′(不写作法);
(2)若图中小正方形的边长为1,
①点B经过的路线长为______;
②线段BC扫过的图形面积为______.(结果保留π)
(1)若旋转后的图形如图所示,请在图中用尺规作出点D,保留作图痕迹,不要求写作法;
(2)若将△ABC按顺时针方向旋转到△A1B1C1的旋转角度为α(0°<α<360°)且AC⊥A1B1,直接写出旋转角度α的值为______.
(1)当三角板旋转到图1的位置时,猜想DE与BF的数量关系,并加以证明;
(2)在(1)问条件下,若BE:CE=1:2,∠BEC=135°,求sin∠BFE的值;
(3)当三角板的一边CF与梯形对角线AC重合时,作DH⊥PE于H,如图2,若OF=
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(1)点P2的坐标;
(2)点P2010的坐标.
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