题目

题型：不详难度：来源：

数学活动——求重叠部分的面积。
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：

如图（1），将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点G。
求重叠部分（△DCG）的面积。
（1）独立思考：请解答老师提出的问题。
（2）合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图(2)，你能求出重叠部分(△DGH)的面积吗？请写出解答过程。
（3）提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，将△DEF绕点D旋转，再提出一个求重叠部分面积的问题。“爱心”小组提出的问题是：如图(3)，将△DEF绕点D旋转，DE，DF分别交AC于点M，N，使DM=MN，求重叠部分(△DMN)的面积。
任务：①请解决“爱心”小组所提出的问题，直接写出△DMN的面积是　 　.
②请你仿照以上两个小组，大胆提出一个符合老师要求的问题，并在图中画出图形，标明字母，不必解答（注：也可在图（1）的基础上按顺时针方向旋转）。

答案

解：（1）∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴DC=DB=DA。∴∠B=∠DCB。
又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE=∠B。
∴∠FDE=∠DCB。∴DG∥BC。∴∠AGD=∠ACB=90°。∴DG⊥AC。
又∵DC=DA，∴G是AC的中点。
∴CG=AC=×8=4，DG=BC=×6=3。
∴S_DCG=·CG·DG=×4×3=6。
（2）∵△ABC≌△FDE，∴∠B=∠1。
∵∠C=90°，ED⊥AB，∴∠A+∠B=90°，∠A+∠2=90°。∴∠B=∠2。
∴∠1=∠2。∴GH=GD。
∵∠A+∠2=90°，∠1+∠3=90°，∴∠A=∠3。∴AG=GD。∴AG=GH。
∴点G是AH的中点。
在Rt△ABC中，AB= 10，
∵D是AB的中点，∴AD=AB=5。
在△ADH与△ACB中，∵∠A =∠A，∠ADH=∠ACB=90°，
∴△ADH∽△ACB。 ∴，即，解得。
∴S_△DGH＝S_△ADH＝×·DH·AD=××5=。
（3）①。
②如图4，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥BC于点M，DF交A C于点N，求重叠部分（四边形DMCN）的面积。（答案不唯一）

解析

试题分析：（1）通过证明DG是Rt△ABC的中位线，即可求得重叠部分（△DCG）的面积。
（2）通过证明S_△DGH＝S_△ADH，即可求得重叠部分（△DGH）的面积。
（3）①如图，将△DEF绕点D旋转至（2）的位置△DE′F′，过点M作MP⊥DM交DE′于点P，过点N作NQ⊥DM交DF′于点Q，则

∵∠NDQ=∠QDM（旋转角相等），DM=MN，∠DNQ=∠DQM=90°，
∴△ABC≌△FDE（ASA）。
∴S_△DDMN＝S_△DGH＝=。
②开放型（答案不唯一）。