题目

题型：上海中考真题难度：来源：

在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM∥x轴（如图所示），点B与点 A关于原点对称，直线y=x+b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，连接OD。
（1）求b的值和点D的坐标；
（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的圆P与圆O外切，求圆O的半径。

答案

解：（1）B与A（1，0）关于原点对称，
∴B（-1，0），
∵y=x+b过点B，
∴-1+b=0，b=1，
∴y=x+1，
当y=4时，x+1=4，x=3，
∴D（3，4）；
（2）作DE⊥x轴于点E，则OE=3，DE=4，
∴，
若△POD为等腰三角形，则有以下三种情况，
①以O为圆心，OD为半径作弧交x轴的正半轴于点P₁，则OP₁=OD=5，
∴P₁（5，0）；
②以D为圆心，DO为半径作弧x轴的正半轴于点P₂，则DP₂=DO=5，
∵DE⊥OP₂，
∴P₂E=OE=3，
∴OP₂=6，
∴P₂（6，0）；
③取OD的中点K，过K作OD的垂线交x轴的正半轴于点P₃，则OP₃=DP₃，易知△OKP₃∽△DCO，
∴，
∴，
∴，
综上所述，符合条件的点P有三个，分别是P₁（5，0），P₂（6，0）；
（3）①当P₁（5，0）时，P₁E=OP₁-OE=5-3=2，DE=4，
∴，
⊙P的半径为，
∵⊙O与⊙P外切，
∴⊙O的半径为5-；
②当P₂（6，0）时，P₂D=DO=5，OP₂=6，
∴⊙P的半径为5，
∵⊙O与⊙P外切，
∴⊙O的半径为1；
③当时，P₃D=OP₃=，
∴⊙P的半径为，
∵⊙O与⊙P外切，
∴⊙O的半径为O，即此时⊙O不存在。