题目

题型：福建省期末题难度：来源：

如图，已知Rt△ABC中，∠A=30°，AC=6．边长为4的等边△DEF沿射线AC运动（A、D、E、C四点共线），使边DF、EF与边AB分别相交于点M、N（M、N不与A、B重合）．
（1）求证：△ADM是等腰三角形；
（2）设AD=x，△ABC与△DEF重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出的取值范围；
（3）是否存在一个以M为圆心，MN为半径的圆与边AC、EF同时相切，如果存在，请求出圆的半径；如果不存在，请说明理

答案

（1）证明：∵△DEF是等边三角形，
   ∴∠FDE=60°
   ∴∠AMD=∠FDE-∠A=30°
   ∴∠AＭD=∠A
   ∴DＭ=DA
  ∴△ADＭ是等腰三角形
（2）∵△ADＭ是等腰三角形，
   ∴DM=AD=x ， FM=4-x.
  又∵∠FED=60°，∠A=30°， ∴∠FNM=90°
  ∴MN=MF·SinF= ，FN=MF=（4-x）
  
   当0<x≤2时， 
   
   当2≤x<4时， CE=AE―AC=4+x-6=x-2
   ∵∠BCE=90°，∠PEA=60°，
   ∴PC=
   ∴
   ∴ =S_△DEF―S_△FMN―S_△PCE=
（3）过点M作MG⊥AC于点G，由（2）得DM=x
  ∵∠MDG=60°， ∴MG=
  ∴∠MNF=90°
   ∴MN⊥FC ，要使以点M为圆心，MN长为半径的圆与边AC、EF相切，则有MG=MN，
  即： 解得x=2，
  圆的半径MN=