题目

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图，已知Rt△ABC和Rt△EBC，∠B=90°，以边AC上的点O为圆心、OA为半径的⊙O
与EC相切，D为切点，AD∥BC。
（1）用尺规确定并标出圆心O；（不写做法和证明，保留作图痕迹）
（2）求证：∠E=∠ACB；
（3）若AD=1， tan∠DAC=，求BC的长。

答案

解：（1）提示：O即为AD中垂线与AC的交点或过D点作EC的垂线与AC的交点等；（2）证明:连结OD，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠EAD=90°，
∴∠E+∠EDA=90°，
即∠E=90°-∠EDA，
又圆O与EC相切于D点，
∴OD⊥EC，
∴∠EDA+∠ODA=90°，
即∠ODA=90°-∠EDA，
∴∠E=∠ODA，
又OD=OA，
∴∠DAC=∠ODA，
∴∠DAC=∠E，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠E=∠ACB；

（3）Rt△DEA中，tan∠E=，
又tan∠E=tan∠DAC=，
∵AD=1
∴EA=，
Rt△ABC中，tan∠ACB=，
又∠DAC=∠ACB，
∴tan∠ACB=tan∠DAC，
∴，
∴可设，
∵AD∥BC，
∴Rt△EAD∽Rt△EBC，
∴，
即， 
∴x=1，
∴。