题目

题型：福建省中考真题难度：来源：

如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE。
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半径。

答案

解：（1）直线CE与⊙O相切，
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD∥AD，∠ACB=∠DAC，
又∵∠ACB=∠DCE，
∴∠DAC=∠DCE，
连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE，
∵∠DCE+∠DEC=90°，
∴∠AEO+∠DEC=90°，
∴∠OEC=90°，
∴直线CE与⊙O相切；
（2）∵tan∠ACB=，BC=2，
∴AB=BC·tan∠ACB=，AC=，
又∵∠ACB=∠DCE，
∴tan∠DCE=，
∴DE=DC·tan∠DCE=1，
在Rt△CDE中，CE=，
连接OE，设⊙O的半径为r，
则在Rt△COE中，即，解得：r=。