题目

题型：北京期中题难度：来源：

已知：如图，AC是⊙O的直径，AB是弦，MN是过点A的直线，AB等于半径长。
（1）若∠BAC=2∠BAN，求证：MN是⊙O的切线；
（2）在（1）成立的条件下，当点E是的中点时，在AN上截取AD=AB，连结BD、BE、DE。
求证：△BED是等边三角形。

答案

证明：（1）连接OB，
因为AC是⊙O的直径，AB是弦，且等于半径长，
所以OA=OB=AB，
所以△AOB为等边三角形，
所以∠OAB=60°，
因为∠BAC=2∠BAN=60°，
所以∠BAN=30°，
所以∠CAN=∠BAC+∠BAN=90°，
所以AC⊥MN，且AC为直径，
所以MN是⊙O的切线；
（2）连接AE、OE，
由E是的中点，可得∠BAE=∠ABE=15°，
易证△ABE≌△ADE，
所以BE=DE，∠EDA=15°，
可证得∠BDE=60°，
所以△BDE是等边三角形。