题目

题型：浙江省中考真题难度：来源：

如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x轴的正半轴上一动点（OC>1），连结BC，以BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E。
（1）试问△OBC与△ABD全等吗？并证明你的结论。
（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化，若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由。
（3）如图2，以OC为直径作圆，与直线DE分别交于点F、G，设AC=m，AF=n，用含n的代数式表示m。

答案

解：（1）两个三角形全等
∵△AOB、△CBD都是等边三角形
∴OBA=∠CBD=60°
∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC
即∠OBC=∠ABD
∵OB=AB，BC=BD
∴△OBC≌△ABD。
（2）点E位置不变
∵△OBC≌△ABD
∴∠BAD=∠BOC=60°
∠OAE=180°-60°-60°=60°
在Rt△EOA中，EO=OA·tan60°=
或∠AEO=30°，得AE=2，
∴OE=
∴点E的坐标为（0，）。
（3）∵AC=m，AF=n，
由相交弦定理知1·m=n·AG，即AG=
又∵OC是直径，
∴OE是圆的切线，OE²=EG·EF
在Rt△EOA中，AE==2
（）²=（2-）（2+n）
即2n²+n-2m-mn=0
解得m=。