题目

题型：福建省期中题难度：来源：

如图①，②，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，0），以点A为圆心，4为半径的圆与x轴交于O，B两点，OC为弦，∠AOC=60°，P是x轴上的一动点，连接CP．
（1）求∠OAC的度数；
（2）如图①，当CP与⊙A相切时，求PO的长；
（3）如图②，当点P在直径OB上时，CP的延长线与⊙A相交于点Q，问PO为何值时，△OCQ是等腰三角形？

答案

解：（1）∵∠AOC=60°，AO=AC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC=60°；
（2）∵CP与⊙A相切，
∴∠ACP=90°，
∴∠APC=90°﹣∠OAC=30°；
又∵A（4，0），
∴AC=AO=4，
∴PA=2AC=8，
∴PO=PA﹣OA=8﹣4=4；
（3）①过点C作CP₁⊥OB，垂足为P₁，
延长CP₁交⊙A于Q_1，
∵OA是半径，
∴，
∴OC=OQ₁，
∴△OCQ₁是等腰三角形；
又∵△AOC是等边三角形，
∴P₁O=OA=2；
②过A作AD⊥OC，垂足为D，延长DA交⊙A于Q₂，
CQ₂与x轴交于P₂，
∵A是圆心，
∴DQ₂是OC的垂直平分线，
∴CQ₂=OQ₂，
∴△OCQ₂是等腰三角形；
过点Q₂作Q₂E⊥x轴于E，
在Rt△AQ₂E中，
∵∠Q₂AE=∠OAD=∠OAC=30°，
∴Q₂E=AQ₂=2，AE=2，
∴点Q₂的坐标为（4+，﹣2）；
在Rt△COP₁中，
∵P₁O=2，∠AOC=60°，
∴CP₁=，
∴C点坐标为（2，）；
设直线CQ₂的关系式为y=kx+b，
则，解得：，
∴y=﹣x+2+2；
当y=0时，x=2+2，
∴P₂O=2+2．

综上所述，当PO=2或PO=2+2时，
△OCQ是等腰三角形．