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题目
题型:不详难度:来源:
如图1所示,在正方形ABCD中,AB=1,
AC
是以点B为圆心,AB长为半径的圆的一段弧,点E是边AD上的任意一点(点E与点A、D不重合),过E作AC所在圆的切线,交边DC于点F,G为切点.
(1)当∠DEF=45°时,求证:点G为线段EF的中点;
(2)设AE=x,FC=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;
(3)图2所示,将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF,当EF=
5
6
时,讨论△AD1D与△ED1F是否相似,如果相似,请加以证明;如果不相似,只要求写出结论,不要求写出理由.
答案
(1)证明:∵∠DEF=45°,
∴∠DFE=90°-∠DEF=45°.
∴∠DFE=∠DEF.
∴DE=DF.
又∵AD=DC,
∴AE=FC.
∵AB是圆B的半径,AD⊥AB,
∴AD切圆B于点A.
同理:CD切圆B于点C.
又∵EF切圆B于点G,
∴AE=EG,FC=FG.
∴EG=FG,即G为线段EF的中点.

(2)根据(1)中的线段之间的关系,得EF=x+y,DE=1-x,DF=1-y,
根据勾股定理,得:
(x+y)2=(1-x)2+(1-y)2
∴y=
1-x
1+x
(0<x<1).

(3)当EF=
5
6
时,由(2)得EF=EG+FG=AE+FC,
即x+
1-x
1+x
=
5
6

解得x1=
1
3
,x2=
1
2

经检验x1=
1
3
,x2=
1
2
是原方程的解.
①当AE=
1
2
时,△AD1D△ED1F,
证明:设直线EF交线段DD1于点H,由题意,得:
△EDF≌△ED1F,EF⊥DD1且DH=D1H.
∵AE=
1
2
,AD=1,
∴AE=ED.
∴EHAD1,∠AD1D=∠EHD=90°.
又∵∠ED1F=∠EDF=90°,
∴∠FD1D=∠AD1D.
∴D1FAD,
∴∠ADD1=∠DD1F=∠EFD=45°,
∴△ED1F△AD1D.
②当AE=
1
3
时,△ED1F与△AD1D不相似.
核心考点
试题【如图1所示,在正方形ABCD中,AB=1,AC是以点B为圆心,AB长为半径的圆的一段弧,点E是边AD上的任意一点(点E与点A、D不重合),过E作AC所在圆的切线】;主要考察你对直线与圆位置关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,点P在⊙O的直径BA的延长线上,AB=2PA=4cm,PC切⊙O于点C,连接BC,求BC的长.
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(l01l•瑶海区一模)如图,在△七B5中,七B=七5,以七B为直径的⊙O交B5于点D,过点D作EF⊥七5于点E,交七B的延长线于点F.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(l)当七B=5,B5=二时,求DE的长.
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如图,PA为⊙O的切线,A为切点,PBC是⊙O的割线,PB=3,BC=12,则PA=______.
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如图,△ABC为等腰三角形,AB=AC,O是底边BC的中点,⊙O与腰AB相切于点D,求证:AC与⊙O相切.
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如图,AB是⊙O的切线,A为切点,AC是⊙O的弦,过O作OH⊥AC于点H.若AC=8,AB=12,BO=13,求:
(1)⊙O的半径;
(2)把
AC
沿弦AC向上翻转180°,问翻转后的
AC
是否经过圆心O,并说明理由.
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